domingo, 13 de janeiro de 2019

Questionando o princípio da equivalência de Einstein

1.  INTRODUÇÃO

Na literatura científica encontramos duas definições distintas de massa, uma para a massa obtida a partir de interações de ordem gravitacional, chamada de "massa gravitacional", e outra para a massa obtida a partir de interações mecânicas cotidianas, como por exemplo, aplicar uma força a um objeto e empurrá-lo, chamada de "massa inercial".

Newton alegava que essas massas poderiam ser equivalentes. Essa proposta ficou conhecida como "o princípio de equivalência entre massas".

Anos mais tarde, esta ideia foi utilizada por Einstein como ponto de partida da relatividade geral, com o seguinte princípio:
Um campo gravitacional homogêneo é totalmente equivalente a um referencial uniformemente acelerado. (TIPLER, 2000, p. 114)
"Einstein propôs que o princípio de equivalência se aplica não apenas à mecânica, mas a toda a física. Assim, ele tomou como hipótese que nenhum experimento permite distinguir se um corpo está submetido a uma aceleração ou a um campo gravitacional." (TIPLER, 2000, p. 114)

Mas será verdade isso? Será que um observador teórico, do tamanho de uma partícula fundamental de matéria, não conseguiria distinguir essas duas situações? Ou será que pelo fato de só conseguirmos realizar medições macroscópicas pensamos que elas são equivalentes?

Investigaremos isso a seguir. O item 2 deste ensaio versará sobre o que se entende sobre o princípio de equivalência de massas de Einstein em sentido macroscópico. Já o item 3 será praticamente uma repetição das situações ilustradas no item 2, mas analisado em escala subatômica.


2.  O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA DE MASSAS TAL COMO ELE É HOJE COMPREENDIDO

Para ilustrar as diversas situações, utilizaremos a figura de um foguete, que pode estar em movimento ou estacionado, propulsado ou não propulsado, submetido ou não a um campo gravitacional. Dentro do foguete haverá um objeto massivo (tal como uma bola de ferro) e uma balança para registrar o seu peso em cada situação. É necessário observar o ponteiro da balança em cada cenário.

2.1  Objeto propulsado e não submetido a campo gravitacional

Imagine o leitor um foguete, em um ambiente sem qualquer campo gravitacional, acelerado por uma força aplicada por um dos seus propulsores externos, tal como a figura abaixo.
Figura 1 - comportamento de um foguete ao ser aplicada uma força de propulsão externa em gravidade = 0
Como o foguete apresenta um movimento acelerado, ocorrerá uma reação no interior da cabine e a balança indicará um peso (que na verdade é uma força), que é o da esfera, que corresponderá ao produto da massa dessa esfera pela sua aceleração.

Força = massa x aceleração

Se a massa da esfera for determinada por uma relação da força e da aceleração conhecidas, essa massa será chamada de massa inercial:

massa inercial = força / aceleração


2.2  Objeto em repouso, não propulsado e submetido a um campo gravitacional

Imagine o leitor agora o mesmo foguete, mas em repouso (não sujeito a qualquer propulsão), apoiado sobre a superfície da Terra e sujeito apenas à ação da gravidade. A figura abaixo ilustra esta situação.
Figura 2 - comportamento do foguete estacionado na superfície da Terra
A reação do foguete com o solo produz uma força normal, que reage com a balança e esta indicará um peso, que é o da esfera, que corresponderá ao produto da massa dessa esfera pela aceleração da gravidade, que será igual à força normal de reação.

Peso = massa x gravidade

Se a massa da esfera for determinada por uma relação entre o peso e a aceleração da gravidade, conhecidas, essa massa será chamada de massa gravitacional:

massa gravitacional = peso / gravidade


2.3  Conclusão: primeiro princípio da equivalência

A primeira forma de visualizarmos o princípio da equivalência diz, em linhas gerais, que se a aceleração imposta por uma propulsão externa for exatamente igual à aceleração da gravidade, o valor da massa inercial será exatamente (e não apenas aproximadamente) igual à massa gravitacional. Elas seriam equivalentes, donde o nome "princípio de equivalência entre massas". Dessa afirmação não discordamos de modo algum.
Figura 3 - se a aceleração imposta ao primeiro foguete pela força F for igual à aceleração da gravidade imposta ao segundo foguete pela força G, o observador interno não saberia dizer se o foguete está estacionado sobre a Terra ou se está em movimento acelerado
Mas Einstein defendeu ainda que um observador que estivesse dentro da cabine não saberia dizer se o movimento do ponteiro da balança se deve à atuação de uma força de aceleração ou se à reação normal em razão da atuação da gravidade, porque as indicações seriam idênticas.

No momento não vamos criticar essa segunda afirmação e faremos isso apenas no item 3.3 deste ensaio.


2.4  Queda livre em ambiente com campo gravitacional

Einstein ilustrou esse experimento mental como sendo o "pensamento mais feliz" de sua vida. Ele imaginou um elevador no qual o cabo se rompe, mas ilustrarei a mesma situação com o foguete e esfera das figuras anteriores.

Imagine o leitor o mesmo foguete das ilustrações anteriores em queda livre, ou seja, sem qualquer propulsão externa e submetido apenas a um campo gravitacional homogêneo ao longo de toda a sua dimensão, de qualquer valor. O que ocorreria?

O que ocorreria é que ao foguete seria imposto uma aceleração igual à aceleração da gravidade, tal como se estivesse sendo por esta propulsado (vide Figura 1). A diferença estaria no indicador da balança, porque em queda livre todos os objetos parecem que "perdem" o seu peso e começam a flutuar dentro do compartimento, conforme a figura abaixo:
Figura 4 - comportamento do foguete em queda livre - os objetos flutuam no interior da cabine como se não estivessem sendo submetidos a força alguma, embora o objeto esteja acelerado
Esse efeito também pode ser observado em simulações de gravidade "zero" feita com aviões, ou em naves espaciais na órbita terrestre.


2.5  Queda livre em ambiente sem campo gravitacional

Se o foguete da ilustração anterior fosse transportado para um ambiente sem qualquer campo gravitacional, o que ocorreria?

Neste caso, como não há propulsão nem campo gravitacional, o foguete não estaria acelerado, estaria em velocidade constante e poderia inclusive estar em perfeito repouso.

No entanto, a indicação seria a mesma da condição de queda livre sob um campo gravitacional qualquer, ou seja, a balança indicaria 0 (zero) e os objetos no interior da cabine flutuariam, conforme a figura abaixo:
Figura 5 - em um ambiente sem gravidade temos o mesmo efeito que em um ambiente em queda livre sob um campo gravitacional

2.6  Conclusão: segundo princípio da equivalência de massas

Nesta nova perspectiva do princípio da equivalência, Einstein afirmou que um observador que estivesse dentro da cabine não saberia dizer se estaria ou não sendo submetido a um campo gravitacional, nem seu módulo, direção e sentido e, em consequência, se estaria ou não em um movimento acelerado, porque as condições da cabine seriam idênticas. Ver a figura abaixo:
Figura 6 - não é possível ao observador interno saber se está parado ou se está acelerado em queda livre, independentemente se há ou não campo gravitacional e a sua direção ou intensidade (desde que seja homogêneo ao longo da massa)
Novamente, no momento não vamos criticar a afirmação de que o observador que estivesse dentro da cabine não saberia dizer se estaria ou não submetido a um campo gravitacional, e faremos isso apenas no item 3.6 deste ensaio.


2.7  Por que a gravidade não parece ser uma força?

Comparando agora a situação ilustrada pela figura 1, do foguete propulsado, com a situação ilustrada pela figura 4, de um objeto em queda livre, observamos um fato que é digno de reflexão. A situação é ilustrada na figura abaixo.
Figura 7 - Na primeira figura, embora a ela esteja sendo imposta a mesma aceleração da segunda figura, não há qualquer indicação de peso na balança e os objetos flutuam dentro da cabine
Observe o leitor que ambos os foguetes se encontram acelerados, que a aceleração tem o mesmo módulo e sentido, mas a força de aceleração é sentida apenas no foguete propulsado. No foguete em queda livre parece não haver qualquer força atuando sobre o foguete. Isso parece violar a segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante que age sobre um corpo deve ser igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração. Na primeira figura, porém, há massa, há aceleração, mas não parece haver nenhuma força.

Foi esta situação, aparentemente estranha, que levou Einstein a inferir que a gravidade não seria de fato uma força, pois que, no caso do corpo em queda livre, este estava acelerando sem estar submetido a força alguma.

Desse modo, a gravidade passou a ser reinterpretada não mais como uma força, mas como uma espécie de curvatura no "tecido espaço-tempo", de modo que o objeto acelera não porque estaria submetido a uma força (gravitacional), mas ele simplesmente estaria seguindo a "curvatura do espaço-tempo" distorcido, como na figura abaixo:
Figura 8 - Representação do espaço-tempo curvo
Na figura acima, a Lua não se encontraria na órbita da Terra porque está sendo mantida por uma força gravitacional, mas ela seguiria a órbita da Terra porque ela simplesmente acompanha o espaço que foi curvado devido ao "peso" da massa da Terra sobre o "tecido do espaço-tempo".

Sem entrar no mérito do absurdo desta tese, que tem incoerências dignas de um Ptolomeu e seu sistema geocêntrico, cabe averiguar melhor o experimento mental que deu origem à tese de que não haveria qualquer força atuando sobre um objeto em queda livre. É o que faremos a seguir no capítulo 3 deste ensaio.

3. QUESTIONANDO O PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA

O ponto que pretendo defender aqui neste tópico é que a gravidade é uma força sim, semelhante a todas as outras. Só que ela é uma força que atua à distância (como todas as outras), penetrante, de partícula fundamental a partícula fundamental, como ilustrado na figura abaixo:
Figura 9 - representação reduzida da força de gravidade atuando partícula a partícula nos corpos compostos
Repare o leitor na figura acima que cada partícula do corpo massivo 1 está submetido a apenas 3 linhas de força provenientes do corpo massivo 2, e que cada partícula do corpo massivo 2 está submetido a 5 linhas de força provenientes do corpo massivo 1. Por isso o corpo massivo 2 tem mais tendência de se deslocar em direção ao corpo massivo 1 do que o contrário, porque suas partículas estão submetidas a uma força maior proveniente do outro corpo.

Desse modo, a representação da força de gravidade que atua entre a Terra e a Lua, por exemplo, ao invés de ser isso:
Figura 10 - Representação da gravidade como uma força concentrada
 Seria assim:
Figura 11 - Representação da gravidade como uma força distribuída

Na figura acima, devemos imaginar cada partícula fundamental individual da Terra atuando univocamente sobre cada partícula fundamental da Lua, considerada a sua distância particular uma da outra, e o somatório de todas essas forças equivale ao que conhecemos como força gravitacional "G".

Essa mudança na forma de representar a gravidade produz enormes impactos no modo como devemos entender a sua atuação, e talvez lance alguma luz sobre como devemos entender os estranhos efeitos observados nas figuras 3, 6 e 7 deste ensaio, que revisitaremos abaixo um a um, mas agora considerando o efeito sobre cada partícula fundamental da matéria, ao invés de considerar a sua estrutura macroscópica.


3.1  Objeto propulsado e não submetido a campo gravitacional em escala subatômica

No item 2.1 e Figura 1, já vimos o esquema da massa inercial. Como será que ficaria esse esquema se analisássemos o que acontece partícula a partícula?
Figura 12 - a força é toda aplicada na parte inferior do sistema e transmitida, partícula a partícula, até o último elemento do sistema
As partículas mais inferiores suportam todo o peso do sistema. Neste cenário, a propulsão empurra todo o sistema de baixo para cima, e a força é transmitida partícula a partícula até a última. Desse modo, a primeira partícula no topo está submetida a apenas ao próprio peso, a partícula debaixo precisa suportar ela própria e a de cima, a terceira precisa suportar ela própria mais as duas de cima, e assim sucessivamente, até ocorrer o toque na balança, que registrará o peso de todo o sistema por ela sustentado.


3.2  Objeto em repouso, não propulsado e submetido a um campo gravitacional em escala subatômica

No item 2.2 e Figura 2, já vimos o esquema da massa gravitacional. Como será que ficaria esse esquema se analisássemos o que acontece partícula a partícula?
Figura 13 - na reação do foguete com o solo é produzida uma força Normal, que sobe até as últimas partículas do sistema, tal como ocorre no esquema anterior
Neste cenário, as partículas inferiores suportam todo o peso do sistema e, da mesma forma que no cenário acelerado, a força Normal é transmitida partícula a partícula até a última. Desse modo, a primeira partícula no todo está submetida a apenas o próprio peso, a partícula debaixo precisa suportar ela própria e a de cima, a terceira precisa suportar ela própria mais as duas de cima, e assim sucessivamente, até ocorrer o toque na balança, que registrará o peso de todo o sistema por ela sustentado.

3.3 Conclusão: primeiro princípio da equivalência de massas em escala subatômica

Na comparação abaixo vemos o que já havia sido observado na escala macroscópica no item 2.3 e Figura 3 deste ensaio:
Figura 14 - Princípio da equivalência analisado em escala subatômica
Nesta nova forma de visualização subatômica percebemos que, assim como observado na medição macroscópica, o valor da massa inercial será exatamente (e não apenas aproximadamente) igual à massa gravitacional, porque à força de propulsão da primeira figura será equivalente a força Normal da segunda figura, que por sua vez será igual ao somatório das forças gravitacionais atuando partícula a partícula. Nenhuma diferença aí, portanto, em relação às conclusões da medição macroscópica.

No entanto, será que seria impossível a um observador subatômico interno perceber a diferença entre o movimento propulsado e a aeronave estacionada sob ação de campo gravitacional homogêneo?

Nos dois foguetes, as forças de reação entre as partículas são as mesmas. Mas naquele foguete estacionado e submetido a uma força gravitacional "G", a partícula recebe uma força adicional, de cima para baixo, correspondente ao produto da aceleração da gravidade pela massa da partícula. Essa força de cima não aparece no foguete propulsado, porque é compensada pelo movimento acelerado.

A partícula mais alta do foguete propulsado sentirá uma força por baixo, mas nenhuma por cima. Mas a partícula mais alta do foguete estacionado sentirá uma força equivalente por baixo e por cima, e se sentirá comprimida, tal como se estivéssemos em pé no chão com um peso sobre a nossa cabeça. Olhando mais de perto:

Figura 15 - Análise de cada partícula fundamental no topo de cada sistema
Mas por que então não percebemos essa força compressão adicional quando estamos estacionados sobre a superfície da Terra, e por que essa força se parece com a movimento acelerado?

Isso ocorre porque cada partícula individualmente recebe a sua parcela de força gravitacional, correspondente ao produto de sua massa, que é muito pequena, pela aceleração da gravidade, o que ocasionará uma força pequena demais para ser por nós percebida ou por qualquer instrumento terreno já inventado. Por isso que analisadas do ponto de vista macroscópico, elas parecem equivalentes.

Apenas como referência, a massa do próton é 1,67 × 10-27 kg, e o próton está longe de ser a partícula mais fundamental da matéria. O elétron, por exemplo, tem massa quase 1.800 vezes menor. No entanto, se a massa do próton fosse a massa a ser considerada para a partícula fundamental, a diferença de força de compressão entre a partícula do movimento uniformemente acelerado e a partícula estacionada na Terra submetido à gravidade terrestre, seria de apenas de apenas 16,38 x 10-27 N, que é um valor muito pequeno para ser por nós percebido ou detectado pelos nossos instrumentos de medida.

Mas o fato de o valor ser pequeno não significa que é 0 (zero), e um observador subatômico seria capaz de perceber essa força e a diferença entre o movimento acelerado e o campo gravitacional, inclusive devendo ser capaz de calcular módulo, direção e sentido dessas forças.


3.4 Queda livre em ambiente com campo gravitacional em escala subatômica

Aqui vamos revisitar o item 2.4 e Figura 4 em escala subatômica, para tentarmos entender o que pode estar acontecendo. Vejamos a figura abaixo:
Figura 16 - Queda livre com campo gravitacional examinado em escala subatômica
Repare o leitor que no objeto em queda livre, submetido a um campo gravitacional, cada partícula fundamental do material está sentindo uma força que corresponde ao produto da aceleração da gravidade pela massa da partícula fundamental, que como vimos, é muito baixa. Não há reações internas, porque a força não é transmitida partícula a partícula como no caso anterior, e a única força que realmente é sentida é a que atua em cada partícula individualmente. Como essa força é extremamente baixa, experimentalmente é quase como se ela não estivesse presente. A balança não consegue detectá-la porque não há reação com ela, visto que ela própria está sendo submetida à força gravitacional e não é "empurrada" pelo conjunto que acima dela.


3.5 Queda livre em ambiente sem campo gravitacional em escala subatômica

Aqui vamos revisitar o item 2.5 e Figura 5 em escala subatômica, para tentarmos entender o que pode estar acontecendo. Vejamos a figura abaixo:
Figura 17 - Em um ambiente sem gravidade tem-se o mesmo efeito resultante que em um ambiente em queda livre sob um campo gravitacional, exceto que as partículas individualmente não estão sujeitas a nenhuma força
Nenhuma surpresa! Não há força gravitacional alguma, não há força propulsora alguma, de modo que nenhuma partícula sente força alguma ou reação alguma, nem tampouco a balança registra coisa alguma.


3.6 Conclusão: segundo princípio da equivalência de massas em escala subatômica

Na comparação abaixo vemos o que já havia sido observado na escala macroscópica no item 2.6 e Figura 6 deste ensaio:
Figura 18 - princípio de equivalência examinado em escala subatômica
Aqui neste caso observamos que há sim uma pequena diferença entre a queda livre em gravidade 0 (zero) e a queda livre com algum grau de gravidade. Na queda livre com gravidade, cada partícula fundamental se sentiria puxada por uma força equivalente ao produto de sua massa pela aceleração da gravidade. Esse valor seria muito pequeno, mas não seria zero e, portanto, não seria equivalente ao ambiente totalmente destituído de gravidade. Olhando mais de perto:
Figura 19 - Análise de cada partícula fundamental no topo de cada sistema
O que não é menos digno de nota é que em qualquer caso não há interações de força exteriores entre as partículas, e apenas as fundamentais perceberiam a ancoragem das forças. Desse modo, na escala macroscópica, como não há reações internas acumulativas, e como a força é muito pequena, ela não é detectada pelos nossos atuais instrumentos de medida. Como também não há reações exteriores de nenhuma ordem, não há também reação com a balança e, em ambos os casos, elas registrariam "zero", o que não violaria o princípio da equivalência de massas inercial e gravitacional.

Mas se o observador da primeira figura fosse uma partícula fundamental, ele sentiria uma força o puxando para um sentido determinado, que é a resultante da força gravitacional. Saberia inclusive dizer o módulo, direção e sentido dessa força resultante que o acelera.


3.7  A gravidade ainda parece não ser uma força em escala subatômica?
 
Na comparação abaixo vemos o que já havia sido observado na escala macroscópica no item 2.7 e Figura 7 deste ensaio:
Figura 20 - na primeira figura, embora a ela esteja sendo imposta a mesma aceleração da segunda figura, não há qualquer indicação de peso na balança e os objetos flutuam dentro da cabine. Porém, na escala subatômica podemos entender o que de fato ocorre
Com o anteriormente exposto, podemos entender porque os objetos propulsados percebem a força de aceleração, e porque os objetos em queda livre não o percebem. O fato é que os objetos em queda livre perceberiam a força da gravidade que os acelera se essa força pudesse ser medida em cada partícula fundamental.

No caso do foguete propulsado, a força é aplicada apenas na base do foguete, e é transmitida, partícula a partícula, de forma cumulativa, de modo que o somatório de todas as forças tem um valor considerável que é percebido pela balança. Na queda livre, não há nenhuma transmissão de forças internas (nem mesmo a reação contra a balança), de modo que a única força que poderia ser percebida é a aplicada sobre a partícula e apenas por ela própria. Mas esta é tão pequena que, para efeitos práticos, é equiparada a zero no mundo macroscópico, de modo que todos os materiais flutuam dentro do foguete como se não houvesse força alguma aplicada aos materiais.

O que também deve-se ter em conta é que todas as forças detectadas em relações exteriores são forças de reação, mas nunca devido ao campo gravitacional. Isso fica mais claro na Figura 18. Por isso, como as relações exteriores são sempre idênticas, o princípio de equivalência de massas de Newton está correto.

Já o princípio da equivalência de Einstein é correto até o nível das interações exteriores. Como toda medição é feita, em princípio, por meio de interações exteriores entre os materiais (por exemplo, o material com a balança), e neste caso elas seriam idênticas, é possível concordar com Einstein que desse modo não é possível distinguir um movimento acelerado do corpo estacionado sobre a Terra, ou o repouso de uma queda livre. Mas quando entramos no nível das partículas simples, indivisíveis, a conclusão é outra, e seria em princípio possível sim, a uma partícula, determinar os módulos, direções e sentidos dos campos gravitacionais que sobre ela atuam.


4. CONCLUSÃO

Newton estava certo, ou seja, a massa inercial é igual à massa gravitacional. Mas a extensão desse princípio que Einstein propôs parece não estar.

E essa extensão do princípio de equivalência de massas foi tomado como ponto de partida para a relatividade geral porque parecia, à primeira vista, que não havia força alguma sujeitando os corpos expostos a uma força gravitacional. Eles parecem estar acelerando sem nenhuma força, do nada.

Isso gera um enorme problema para o nosso entendimento, porque viola a lei de causalidade em todas as suas concepções possíveis (de determinação e autodeterminação), pois parece que o nada, o vazio, seria capaz de alterar o estado inercial de corpos sólidos, o que é impossível. É preciso que a alteração do movimento tenha uma causa (uma força), e uma causa cuja origem seja material.

Qualquer que seja a teoria que elaboremos para explicar um fenômeno observável, nunca podemos abandonar o domínio causal e apelar para explicações não-causais*, onde os fenômenos ocorreriam "do nada" e todos nós ficamos satisfeitos com isso. Pelo contrário, devemos sempre presumir causas materiais para todos os fenômenos, ainda que em um primeiro momento não consigamos vislumbrar que causa seria essa.

Com o anteriormente exposto espero ter demonstrado que o chamado "princípio de equivalência de massas" de Newton está correto, mas a extensão que Einstein propôs deve ser entendido como uma "quase equivalência", válido apenas para relações exteriores, e que seria possível sim a um observador interno, desde que ele fosse simples (indivisível), ou seja, desde que ele fosse uma das partículas fundamentais de matéria onde a força de gravidade pudesse se ancorar, diferenciar se ele está submetido a uma aceleração ou a um campo gravitacional, conseguindo inclusive determinar módulo, direção e sentido desse campo resultante, assim como perceber todos os campos que sobre ele atuam.

Talvez seja verdade, como defendeu Einstein, que nenhum experimento humano consiga distinguir isso, porque embora não saibamos que massa tem a unidade mais fundamental de matéria, sabemos que ela é muito pequena e imperceptível aos atuais instrumentos de medição atuais. Talvez medir seja uma impossibilidade equivalente ao do princípio da incerteza de Heisenberg, que especifica que quanto menor for o objeto observado, maior será a incerteza na medição, chegando até a impossibilidade de medição no nível mais fundamental.

No entanto, a impossibilidade de medir e de determinar uma causa não é desculpa para apelar para explicações não-causais, pois isso seria retornar para a época do obscurantismo intelectual onde, para tudo o que não conhecíamos dizíamos "foi porque Deus quis", com a diferença que hoje dizemos "foi o espaço-tempo que fez", ou "foi o acaso que assim determinou".

Não pretendo aqui demover ninguém de acreditar que seja uma suposta curvatura no vazio que acelera corpos massivos, assim como não é meu intento demover alguém de acreditar em milagres, bem entendidos aqui como ocorrências de eventos não causais. O que tratei aqui é apenas um experimento mental (tal qual o de Einstein) que torna possível uma explicação causal para o princípio da equivalência de massas, e que não há, portanto, razão alguma para abandonarmos o universo clássico e partir para explicações fantasmagóricas como causas dos fenômenos relativísticos.

Einstein implorou perdão a Newton quando sua teoria da relatividade supostamente obliterou os absolutos de tempo e espaço que o cientista teórico havia defendido mais de dois séculos antes. Mas neste momento digo eu ao grande cientista do século XX: "Einstein, por favor, me perdoe, porque não era bem assim como você acreditava".

* Nota: considero uma "explicação não-causal" aquela que não se preocupa com o equilíbrio de forças, ou com o princípio da conservação de energia e de massa, etc..., de modo que isso nos obriga ao absurdo de pressupor acelerações sem forças, ou massas e/ou energias surgindo do, ou desaparecendo para o, nada, etc... O objetivo deste ensaio é justamente demonstrar que não é necessário abandonar o domínio causal para prover uma explicação possível para o princípio da equivalência de Einstein.

Rafael Gasparini Moreira [rafael.gasparini@gmail.com]
Brasília/DF
Revisado em 20/1/2019.

5. BIBLIOGRAFIA:

TIPLER, Paul A. Física - Volume 3. 4ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

6. CRÉDITO DAS IMAGENS:

Espaço curvado na figura 8: Tetiana Zhabska/depositphotos.com. Licença de arquivo #137026108. 13/1/2019.
Terra, nas figuras 10 e 11: Michael Traves/depositphotos.com. Licença de arquivo #137025946. 13/1/2019.
Lua, nas figuras 10 e 11: Daniel Cole/depositphotos.com. Licença de arquivo #137026002. 13/1/2019.

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